Question

2．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=AA₁=2，AB=4，E、F、G分別是棱AA₁、AD、AB的中點．
（Ⅰ） 求證：EF⊥B₁D₁；
（Ⅱ） 求證：EF∥平面GCC₁；
（Ⅲ） 求二面角B-GC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根據線面垂直的性質定理證明B₁D₁⊥平面A₁ADD₁ 求即可證：EF⊥B₁D₁；
（Ⅱ） 根據線面平行的判定定理即可證明：EF∥平面GCC₁；
（Ⅲ） 根據二面角的定義作出二面角的平面角即可求二面角B-GC₁-C的余弦值．

解答 （Ⅰ） 證明：作D₁H⊥A₁B₁，垂足為H，則A₁B₁=4，A₁D₁=2，A₁H=1，
∵在△B₁A₁D₁和△D₁A₁H中，∠B₁A₁D₁=∠D₁A₁H，$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{A}_{1}H}$，
∴△B₁A₁D₁∽△D₁A₁H．
∴∠B₁D₁A₁=∠D₁HA₁=90°，即B₁D₁⊥D₁A₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥AA₁．
∵A₁D₁∩AA₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁ADD₁．
∵EF?平面A₁ADD₁，∴EF⊥B₁D₁；．
（Ⅱ） 證明：∵G為AB的中點，AG=$\frac{1}{2}$AB=2=DC，且AB∥CD，
∴四邊形AGCD為平行四邊形，故AD∥GC．
∵DD₁∥CC₁，GC?平面GCC₁，CC₁?平面GCC₁，GC∩CC₁=C，
∴平面A₁ADD₁∥平面GCC₁．
∵EF?平面A₁ADD₁，
∴EF∥平面GCC₁．
（Ⅲ） 解：取GC的中點P，連接BP，
∵GC=BC=GB，
∴BP⊥GC．
∵BP⊥CC₁，GC∩CC₁=C，
∴BP⊥平面GCC₁．
∵GC₁平面GCC₁，
∴BP⊥GC₁．
過點P作PM⊥GC₁于點M，連接BM，
∵PM∩BP=P，
∴GCC₁⊥平面BPM．
∴∠BMP為二面角B-GC₁-C的平面角．
在Rt△BPM中，∴∠BPM=90°，BP=$\sqrt{3}$，
∵GP=1，且△GCC₁為等腰直角三角形，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BM=$\sqrt{3+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴cos∠BMP=$\frac{PM}{BM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{2}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
即所求二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查空間直線和平面垂直和平行的判定以及空間二面角的求解，利用相應的判定定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．