Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+（3-a）x+2+2a+b，a，b∈R．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜-4或x＞2}，求實數(shù)a，b的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)與對應(yīng)不等式和方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出a、b的值；
（2）由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x²+（3-a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）=x²+（3-a）x+2+2a，則在x∈[1，3]上，g（x）_min≤0，討論a的取值，求出對應(yīng)實數(shù)a的取值范圍；
（3）由f（x）＜12+b得x²+（3-a）x+2a-10＜0，令h（x）=x²+（3-a）x+2a-10，求出h（x）＜0解集中恰有3個整數(shù)時a的取值范圍即可．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=x²+（3-a）x+2+2a+b，a，b∈R，
又f（x）＞0的解集為{x|x＜-4或x＞2}，
所以-4，2方程x²+（3-a）x+2+2a+b=0的兩根，
由$\left\{\begin{array}{l}-4+2=-（3-a）\\-4×2=2+2a+b\end{array}\right.$，解得a=1，b=-12；…（3分）
（2）因為函數(shù)f（x）=x²+（3-a）x+2+2a+b，a，b∈R，
由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x²+（3-a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，
令g（x）=x²+（3-a）x+2+2a，則在x∈[1，3]上，g（x）_min≤0；
①$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3-a}{2}≤1\\ g{（x）_{min}}=g（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≤5\\ a≤-6\end{array}\right.$得a≤-6；…（5分）
②$\left\{\begin{array}{l}1＜-\frac{3-a}{2}＜3\\ g{（x）_{min}}=g（-\frac{3-a}{2}）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}5＜a＜9\\{a^2}-14a+1≥0\end{array}\right.$；
有$\left\{\begin{array}{l}5＜a＜9\\ a≤7-4\sqrt{3}或a≥7+4\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得a∈∅；…（7分）
③$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3-a}{2}≥3\\ g{（x）_{min}}=g（3）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≥9\\ a≥20\end{array}\right.$，解得a≥20；…（9分）
綜上，由①②③知，實數(shù)a的取值范圍是a≤-6或a≥20．…（10分）
【注：由x²+（3-a）x+2+2a≤0得（x-2）a≥x²+3x+2，然后分離出a，進(jìn)行求解，則參照給分】
（3）由f（x）＜12+b得x²+（3-a）x+2a-10＜0，令h（x）=x²+（3-a）x+2a-10，
則h（x）=（x-2）[x-（a-5）]，知h（2）=0，
故h（x）＜0解集中的3個整數(shù)只能是3，4，5或-1，0，1；…（11分）
①若解集中的3個整數(shù)是3，4，5，則5＜a-5≤6，得10＜a≤11；…（13分）
②解集中的3個整數(shù)是-1，0，1；則-2≤a-5＜-1，得3≤a＜4；…（15分）
綜上，由①②知，實數(shù)a的取值范圍為3≤a＜4或10＜a≤11．…（16分）

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的函數(shù)與不等式、方程的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化與分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．