Question

10．已知集合A=[a-3，a]，函數(shù)$f（x）={（\frac{3}{2}）^{{x^2}-4x}}$（-2≤x≤5）的單調減區(qū)間為集合B．
（1）若a=0，求（∁_RA）∪（∁_RB）；
（2）若A∩B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、復合函數(shù)的單調性求出集合B，由條件和補集的運算求出∁_RA、∁_RB，由交集的運算求出（∁_RA）∪（∁_RB）；
（2）由A∩B=A得A⊆B，根據子集的定義和題意列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知函數(shù)f（x）的定義域是：[-2，5]，
則函數(shù)y=x²-4x=（x-2）²-4的減區(qū)間為[-2，2]，
又$\frac{3}{2}＞1$，則函數(shù)f（x）的減區(qū)間[-2，2]，即集合B=[-2，2]，
當a=0時，A=[-3，0]，
則∁_RA=（-∞，-3）∪（0，+∞），（∁_RB）=（-∞，-2）∪（2，+∞）；
所以（∁_RA）∪（∁_RB）=（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）由A∩B=A得，A⊆B=[-2，2]，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-3≥-2\\ a≤2\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，
即實數(shù)a的取值范圍為[1，2]．

點評 本題考查了交、并、補集的混合運算，集合之間的關系，以及二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、復合函數(shù)的單調性，屬于中檔題．