Question

20．若sinα=$\frac{3}{5}$且α是第二象限角，則$cot（{\frac{α}{2}-\frac{π}{4}}）$=2．

Answer 1

分析 由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosθ的值，進(jìn)而確定出tanθ的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡，求出tan$\frac{α}{2}$的值，將所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，把tan $\frac{α}{2}$的值代入計(jì)算，即可求出值．

解答 解：∵α是第二象限角，且sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即3tan²$\frac{α}{2}$-8tan$\frac{α}{2}$-3=0，
解得：tan$\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{3}$（不合題意，舍去．因?yàn)棣潦堑诙�象限角�?\frac{α}{2}$是第一象限或第三象限角，tan$\frac{α}{2}$＞0）或tan$\frac{α}{2}$=3，
則tan（$\frac{α}{2}-\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{α}{2}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{3-1}{1+3}$=$\frac{1}{2}$．則$cot（{\frac{α}{2}-\frac{π}{4}}）$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．