Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-k在（0，$\frac{π}{3}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的減區(qū)間．
（3）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有2個(gè)不同的交點(diǎn)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-k在（0，$\frac{π}{3}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有2個(gè)不同的交點(diǎn)．
∵在（0，$\frac{π}{3}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，π]，f（x）∈[0，2]，
結(jié)合f（x）的圖象可得k∈（$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題．