Question

8．如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）證明線與面平行，可運(yùn)用線與面平行的判定定理，轉(zhuǎn)化為證線與平面內(nèi)的線平行來證，結(jié)合題目中的中點(diǎn)條件，可運(yùn)用中位線的性質(zhì)得證；
（2）證明面面垂直，可利用面面垂直的判定定理，即：化為線與面的垂直來證，由題條件可發(fā)現(xiàn)CD⊥平面PAD，則可證得．

解答 證明：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，則EO是△PBD的中位線，
∴EO∥PB，
又PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC；
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABC，
∴PA⊥CD．
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
而PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．

點(diǎn)評 本題考查線面平行與面面垂直的判斷，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．