Question

15．設點M是x軸上的一個定點，其橫坐標為a（a∈R），已知當a=1時，動圓N過點M且與直線x=-1相切，記動圓N的圓心N的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）當a＞2時，若直線l與曲線C相切于點P（x₀，y₀）（y₀＞0），且l與以定點M為圓心的動圓M也相切，當動圓M的面積最小時，證明：M、P兩點的橫坐標之差為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過圓N與直線x=-1相切，推出點N到直線x=-1的距離等于圓N的半徑，說明點N的軌跡為以點M（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，求出軌跡方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=k（x-{x_0}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得$\frac{k}{4}{y^2}-y-k{x_0}+{y_0}=0$，利用相切關系，推出k，求解直線l的方程為$4x-2{y_0}y+{y_0}^2=0$．通過動圓M的半徑即為點M（a，0）到直線l的距離$d=\frac{{|4a+{y_0}^2|}}{{\sqrt{16+4{y_0}^2}}}$．
利用動圓M的面積最小時，即d最小，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因為圓N與直線x=-1相切，所以點N到直線x=-1的距離等于圓N的半徑，
所以，點N到點M（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等．
所以，點N的軌跡為以點M（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，
所以圓心N的軌跡方程，即曲線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=k（x-{x_0}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得$\frac{k}{4}{y^2}-y-k{x_0}+{y_0}=0$，
又${y_0}^2=4{x_0}$，所以$\frac{k}{4}{y^2}-y-\frac{k}{4}{y_0}^2+{y_0}=0$，
因為直線l與曲線C相切，所以$△=1-k（-\frac{k}{4}{y_0}^2+{y_0}）=0$，解得$k=\frac{2}{y_0}$．
所以，直線l的方程為$4x-2{y_0}y+{y_0}^2=0$．
動圓M的半徑即為點M（a，0）到直線l的距離$d=\frac{{|4a+{y_0}^2|}}{{\sqrt{16+4{y_0}^2}}}$．
當動圓M的面積最小時，即d最小，而當a＞2時；$d=\frac{{|4a+{y_0}^2|}}{{\sqrt{16+4{y_0}^2}}}=\frac{{{y_0}^2+4a}}{{2\sqrt{{y_0}^2+4}}}$=$\frac{{{y_0}^2+4+4a-4}}{{2\sqrt{{y_0}^2+4}}}$=$\frac{{\sqrt{{y_0}^2+4}}}{2}+\frac{4a-4}{{2\sqrt{{y_0}^2+4}}}≥2\sqrt{a-1}$．
當且僅當${y_0}^2=4a-8$，即x₀=a-2時取等號，
所以當動圓M的面積最小時，a-x₀=2，
即當動圓M的面積最小時，M、P兩點的橫坐標之差為定值．

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．