Question

19．已知點(diǎn)P（2，0），Q（0，-2），動(dòng)點(diǎn)M在直線(xiàn)l：x-y-1=0上，求：
（1）PM+QM的最小值；
（2）PM²+QM²的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}×1=-1}\\{\frac{a+2}{2}-\frac{0+b}{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得P′（1，1），求出直線(xiàn)P′Q的方程．則經(jīng)過(guò)P′Q的直線(xiàn)與l相交于點(diǎn)M，即可對(duì)稱(chēng)．
（2）設(shè)M（x，x-1），利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得PM²+QM²=4$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+5，即可得出．

解答 解：如圖所示，
（1）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}×1=-1}\\{\frac{a+2}{2}-\frac{0+b}{2}-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴P′（1，1），
直線(xiàn)P′Q的方程為：y=$\frac{-2-1}{0-1}$x-2，即y=3x-2．
則經(jīng)過(guò)P′Q的直線(xiàn)與l相交于點(diǎn)M，即為所求．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．M$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$．
PM+QM的最小值=|P′Q|=$\sqrt{{1}^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
（2）設(shè)M（x，x-1），則PM²+QM²=（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²=4x²-4x+6=4$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+5，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$時(shí)，PM²+QM²的最小值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)稱(chēng)性、相互垂直平分的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．