Question

1．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期和遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
并計(jì)算tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及輔助角公式求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)f（x）的周期和遞增區(qū)間；
（2）由題意可知方程g（x）=f（x）-m=0同解于f（x）=m，畫出函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象及正弦函數(shù)的性質(zhì)，x₁與x₂關(guān)于直線$x=\frac{3π}{8}$對(duì)稱，${x_1}+{x_2}=\frac{3π}{4}$，tan（x₁+x₂）的值．

解答 解：（1）f（x）=${（sinx+cosx）^2}-2{cos^2}x=sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$（x∈R）．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$⇒$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}$（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的周期為T=π，遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{8}$，$kπ+\frac{3π}{8}$]（k∈Z）；…（6分）
（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于f（x）=m；
在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象，

由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)m∈[1，$\sqrt{2}）$時(shí)，方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上的區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$）和（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]有兩個(gè)不同的解x₁、x₂，
且x₁與x₂關(guān)于直線$x=\frac{3π}{8}$對(duì)稱，即$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3π}{8}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{3π}{4}$；
故tan（x₁+x₂）=-1．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，考查二倍角公式及輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．