Question

11．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x}（a∈R）$．
（Ⅰ）若a=1，求y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：不等式$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$對(duì)一切的x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）問題等價(jià)于（x+1）lnx-2（x-1）＞0，令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（I）a=1時(shí)，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，
所以${f^/}（x）=\frac{x-1}{x^2}$，而 f′（1）=0，f（1）=0，
 所以切線方程為y=0，
（II）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
${f^/}（x）=\frac{x-a}{x^2}$，
①若a≤0，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②若a＞0，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅲ）∵$1＜x＜2∴\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$
等價(jià)于（x+1）lnx-2（x-1）＞0，
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），
則${F^/}（x）=lnx+\frac{（x+1）}{x}-2=lnx+\frac{1}{x}-1$，
由（I）知，當(dāng)a=1時(shí)f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）＞f（1），即$lnx+\frac{1}{x}-1≥0$，
所以F′（x）≥0，則F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
所以F（x）＞F（1）=0，
即$有1＜x＜2時(shí)\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．