Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-6，0），B（4，0），C（9，m），△ABC的外接圓為⊙M．
（1）若∠CAB=30°，求m值；
（2）若⊙M與直線l：ax+2y+6=0相切于點(diǎn)A，求⊙M的方程；
（3）若⊙M與y軸交于P、Q兩點(diǎn)，求PQ長的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）首先，根據(jù)∠CAB=30°，結(jié)合直角三角形中邊角關(guān)系，求解m的值；
（2）先將A（-6，0）代入所給直線方程，求解得到a的值，然后，求解過圓心且和已知直線垂直的直線方程，最后，聯(lián)立方程組，求解圓的圓心，從而得到其方程；
（3）首先設(shè)圓心坐標(biāo)，然后，根據(jù)圓的弦長公式求解弦長的表達(dá)式，最后確定其最值．

解答： 解：（1）∵∠CAB=30°，
∴

|m|

15

=tan30°=

3

3

，
∴|m|=5

3

，
∴m=±5

3

，
∴m值為±5

3

；
（2）∵A（-6，0），
將該點(diǎn)坐標(biāo)代人直線方程，得
a（-6）+2×0+6=0，
解得a=1，
∴直線方程為：x+2y+6=0，
與上述直線垂直且切點(diǎn)為（-6，0）的直線方程為：
2x-y-12=0，
聯(lián)立方程組

2x-y-12=0 x=-1

，
解得

x=-1 y=10

，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，10），
半徑為r=

(-1+6)2+(10-0)2

=5

5

，
∴⊙M的方程（x+1）²+（y-10）²=125．
（3）設(shè)圓心為（-1，b），
則當(dāng)圓M與直線x=9相切時(shí)，r最小，
此時(shí)PQ長取得最小值，
此時(shí)r=10，圓心到PQ的距離為1，
PQ=2

102-12

=6

11

，
∴PQ長的最小值6

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握?qǐng)A的性質(zhì)和直線方程．