Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2asinA=（2sinB-sinC）b+（2sinC-sinB）c．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若sinB+sinC=

3

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（I）由2asinA=（2sinB-sinC）b+（2sinC-sinB）c，利用正弦定理可得2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，即bc=b²+c²-a²，再利用余弦定理即可得出．
（Ⅱ）由A+B+C=180°，可得B+C=120°．由sinB+sinC=

3

，得sinB+sin(120°-B)=

3

，化為sin（B+30°）=1．即可得出．

解答： 解：（I）∵2asinA=（2sinB-sinC）b+（2sinC-sinB）c，
得2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，即bc=b²+c²-a²，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴A=60°．
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，
∴B+C=180°-60°=120°．
由sinB+sinC=

3

，得sinB+sin(120°-B)=

3

，
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=

3

．
∴

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

，即sin（B+30°）=1．
又∵0°＜B＜120°，30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°．
∴A=B=C=60°，
∴△ABC為正三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．