Question

某公司舉辦一次募捐愛(ài)心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y（x，y∈[0，4]），若滿足y≥

8

5

x，電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)咴俅潍@得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金．
（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，求小李參加此次活動(dòng)收益的期望，若該公司在此次活動(dòng)中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知符合幾何概型，從而求面積比即可；
（Ⅱ）特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，設(shè)小李參加此次活動(dòng)的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．從而列分布列，再求數(shù)學(xué)期望，再令

185625

2

-

25(a+900)

8

≥70000即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，
所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積為16，
事件A所包含的基本事件的區(qū)域的面積為5，
∴P（A）=

5

16

．
（Ⅱ）特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，
設(shè)小李參加此次活動(dòng)的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．
P（ξ=-100）=

990

1000

=

99

100

，
P（ξ=900）=

10

1000

•

11

16

=

11

1600

，
P（ξ=a+900）=

5

1600

=

1

320

．
∴ξ的分布列為

ξ	-100	900	a+900
P	99 100	11 1600	1 320

∴Eξ=-100×

99

100

+900×

11

1600

+（a+900）

1

320

=-

1485

16

+

a+900

320

．
∴該集團(tuán)公司收益的期望為-1000Eξ=

185625

2

-

25(a+900)

8

，
由題意

185625

2

-

25(a+900)

8

≥70000，
解得a≤6400．
故特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金最高可設(shè)置成6400元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何概型的應(yīng)用及分布列與數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．