Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且${S_n}={2^n}-1$，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過${S_n}={2^n}-1$與S_n-1=2^n-1-1作差可知a_n=2^n-1（n≥2），進而可知a_n=2^n-1；通過b₁=2、b_n+1=b_n+a_n，利用累加法計算可知b_n=1+2^n-1；
（Ⅱ）通過（I），利用分組求和法計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={2^n}-1$，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2^n-1-1，
兩式相減得：a_n=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=2-1=1滿足上式，
∴a_n=2^n-1；
∵b₁=2，b_n+1=b_n+a_n，
∴當(dāng)n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$+2
=1+2^n-1，
又∵b₁=2滿足上式，
∴b_n=1+2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知T_n=（1+1+…+1）+（1+2+2²+…+2^n-1）
=n+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=n-1+2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．