Question

某校為進(jìn)行愛國主義教育，在全校組織了一次有關(guān)釣魚島歷史知識(shí)的競賽．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)參加釣魚島知識(shí)競賽，每隊(duì)3人，規(guī)定每人回答一個(gè)問題，答對(duì)為本隊(duì)贏得1分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為

2

3

，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為

2

3

、

2

3

、

1

2

，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊(duì)的總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（B）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）用C表示“甲得2分，乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，則B=C∪D，且C，D互斥，由互斥事件的概率公式能求出p（B）．

解答： （Ⅰ）解：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C

0 3

(1-

2

3

)3=

1

27

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，
P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	2 9	8 27

∴Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．
（Ⅱ）解：用C表示“甲得2分，乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，
∴B=C∪D，且C，D互斥，
又P（C）=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×(

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

)=

10

34

，
P（D）=

C

3 3

×(

2

3

)3×(

1

3

×

1

3

×

1

2

)=

4

35

，
由互斥事件的概率公式得p（B）=P（C）+P（D）=

10

34

+

4

35

=

34

243

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．