Question

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，則△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，根據(jù)根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x-y的值，再根據(jù)∠F₁PF₂=90°，求得x²+y²的值，進(jìn)而根據(jù)2xy=x²+y²-（x-y）²求得xy，進(jìn)而可求得∴△F₁PF₂的面積．

解答 解：設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，（x＞y）
雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x-y=2a=4，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴x²+y²=4c²=20，
∴2xy=x²+y²-（x-y）²=4，
∴xy=2，
∴△F₁PF₂的面積為$\frac{1}{2}$xy=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．要靈活運(yùn)用雙曲線的定義及焦距、實(shí)軸、虛軸等之間的關(guān)系．