Question

10．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于P點，若△F₁PF₂為等腰三角形，離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}-1$

Answer 1

分析 由題意設(shè)P（c，$\frac{^{2}}{a}$），由等腰直角三角形的性質(zhì)可知|PF₂|=|F₁F₂|，求得$\frac{^{2}}{a}$=2c，化簡整理得：e²+2e-1=0，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：設(shè)點P在x軸上方，坐標(biāo)為（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∵△F₁PF₂為等腰直角三角形
∴|PF₂|=|F₁F₂|，即$\frac{^{2}}{a}$=2c，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=2•\frac{c}{a}$，
∵e=$\frac{c}{a}$，
∴1-e²=2e，整理得：e²+2e-1=0，解得：e=$\sqrt{2}$-1，
∴橢圓的離心率e=$\sqrt{2}$-1，
故答案選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用．考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．