Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)$\frac{PM}{PD}=λ$，若直線ME與平面PBC所成的角θ的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥AC． EF⊥AC，推出PA⊥EF．然后證明EF⊥平面PAC．  
（Ⅱ）以AB，AC，AP所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，
求出$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳B=AC，∠ABC=45°，
所以∠ACB=45°，故AB⊥AC． …（1分）
由E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，得EF∥AB，所以EF⊥AC…（2分）
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，EF?底面ABCD，所以PA⊥EF． …（3分）
又因?yàn)镻A∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，…（4分）
所以EF⊥平面PAC．  …（5分）
（向量法參照給分，建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)沒有證明AB⊥AC扣1分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC兩兩垂直，分別以AB，AC，AP所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-2，2，0），E（1，1，0）．
所以$\overrightarrow{PB}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，…（6分）
由已知，$\overrightarrow{PM}=λ{(lán)\overrightarrow{PD}_{\;}}（λ∈[0，1]）$，故$\overrightarrow{PM}=（-2λ，2λ，-2λ）$，
所以M（-2λ，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{ME}=（1+2λ，1-2λ，2λ-2）$，…（7分）
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ 2x-2z=0\end{array}\right.$
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（9分）
所以$sinθ=|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{n}|=\frac{|\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{ME}||\overrightarrow{n}|}$

=$\frac{|1+2λ+1-2λ+2λ-2|}{{\sqrt{{{（1+2λ）}^2}+{{（1-2λ）}^2}+{{（2λ-2）}^2}}•\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，…（10分）
化簡得4λ²+4λ-3=0，…（11分）
故$λ=\frac{1}{2}$或$λ=-\frac{3}{2}$（舍）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面市場價(jià)的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．