已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，點P(
3
，
1
2
)在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（2，0），作兩條互相垂直的動直線QA、QB，分別交橢圓C于 A、B兩點，求證：直線AB必過定點，并求出該定點坐標(biāo)．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用離心率以及點的坐標(biāo)滿足的方程，abc的關(guān)系，求出ab，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0），求出直線QB的方程為y=-
1
k
(x-2)，將直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0）代入橢圓方程整理，設(shè)A點坐標(biāo)為（xA，yA），B點坐標(biāo)為（xB，yB），通過韋達(dá)定理，化簡直線AB，然后推出無論k取何值，直線AB必過定點(
6
5
，0)．
法二：通過去特殊值直線QA的斜率分別為1和-
3
，得到直線AB的方程，兩直線的交點為P(
6
5
，0)，由法一得A(
8k2-2
1+4k2
，
-4k
1+4k2
)．B(
8-2k2
4+k2
，
4k
4+k2
)，求出kPA=
5k
4(1-k2)
，kPB=
5k
4(1-k2)
，利用A、B、P三點共線，推出直線AB過定點(
6
5
，0)．
解答： 解：（Ⅰ）由題意得
c
a
=
3
2
，
3
a2
+
(
1
2
)2
b2
=1，
a2=b2+c2
解得a=2，b=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）法一：
設(shè)直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0），則直線QB的方程為y=-
1
k
(x-2)．…（5分）
將直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0）代入橢圓方程整理可得
（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0△=（16k2）2-4•（1+4k2）•（16k2-4）=1＞0…（6分）
設(shè)A點坐標(biāo)為（xA，yA），B點坐標(biāo)為（xB，yB），則2xA=
16k2-4
1+4k2

所以xA=
8k2-2
1+4k2
yA=k(xA-2)=
-4k
1+4k2
…（7分）
同理可得xB=
8-2k2
4+k2
，yB=
4k
4+k2

所以kAB=
yA-yB
xA-xB
=
5k
4(1-k2)

故直線AB的方程為：y+
4k
1+4k2
=
5k
4(1-k2)
(x-
8k2-2
1+4k2
)，…（8分）y+
4k
1+4k2
=
5kx
4(1-k2)
-
5k(8k2-2)
4(1-k2)(1+4k2)

4（1+4k2）（1-k2）y+16k（1-k2）=5k（1+4k2）x-5k（8k2-2）
4（1+4k2）（1-k2）y=5k（1+4k2）x-6k（1+4k2）
4（1-k2）y=k（5x-6）
顯然當(dāng)x=
6
5
時，y=0，…（10分）
當(dāng)k=0時，直線QA為x軸，點A為橢圓的左頂點；
直線QB垂直于x軸，點B和點Q重合，直線AB即為x軸，過定點(
6
5
，0)．
所以無論k取何值，直線AB必過定點(
6
5
，0)．…（12分）
法二：
令直線QA的斜率分別為1和-
3
，則直線QB的斜率分別為-1和
3
3
…（5分）
得到直線AB的方程為x=
6
5
和y=
5
3
8
(x-
6
5
)…（6分）
兩直線的交點為P(
6
5
，0)由法一得A(
8k2-2
1+4k2
，
-4k
1+4k2
)．B(
8-2k2
4+k2
，
4k
4+k2
)…（8分）
計算可得kPA=
5k
4(1-k2)
，kPB=
5k
4(1-k2)

所以kPA=kPB，即A、B、P三點共線，因此直線AB過定點(
6
5
，0)…（10分）
當(dāng)k=0時，直線QA為x軸，點A為橢圓的左頂點；
直線QB垂直于x軸，點B和點Q重合，直線AB即為x軸，過定點(
6
5
，0)．
所以無論k取何值，直線AB必過定點(
6
5
，0)．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計算能力，分類討論以及分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
log3x，x＞0
f(x+3)，x≤0
，則f（9）=
 
；f[f（
1
9
）]=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，求證：
b
a2
+
c
b2
+
a
c2
≥3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2015•赤峰模擬）某茶樓有四類茶飲，假設(shè)為顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計以往為100位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時間（t），結(jié)果如下：
類別鐵觀音龍井金駿眉大紅袍
顧客數(shù)（人）20304010
時間t（分鐘/人）2346
注：服務(wù)員在準(zhǔn)備泡茶工具時的間隔時間忽略不計，并將頻率視為概率．
（1）求服務(wù)員恰好在第6分鐘開始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分鐘末已準(zhǔn)備好了工具的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓C：（x-
2
）2+y2=1相切，則雙曲線的離心率是（　�。�
A、2
B、3
C、
3
D、
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算下列定積分：
（1）
∫
1
0
（3x+2）dx；
（2）
∫
3
-1
（2x-1）dx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知c是雙曲線M：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的半焦距，則
c
a+b
的取值范圍是（　�。�
A、[
2
2
，+∞)
B、[
2
2
，1)
C、(0，
2
2
]
D、(
2
2
，1)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

作出函數(shù)y=x-
2
3
的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=2，c=3，△ABC的面積為2，則sinA=
 
．

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同步練習(xí)冊答案