Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁a₂…a_n=n+1，則a₃=$\frac{4}{3}$；若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 求得a₁=2，運(yùn)用當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n-1}}$，可得a₃；a_n，求得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：由a₁a₂…a_n=n+1，可得：
a₁=2，a₁a₂=3，可得a₂=$\frac{3}{2}$，
a₁a₂a₃=4，可得a₃=$\frac{4}{3}$；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$，
上式對(duì)n=1也成立；
則b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{n+1}{n（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$，$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，考查裂項(xiàng)相消求和法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．