Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=n²a_n且a₁=2，則（　　）

• A． a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$
• B． a_n=$\frac{2}{n+1}$
• C． a_n=$\frac{4}{n+1}$
• D． a_n=$\frac{2}{{n}^{2}}$

Answer 1

分析 由題意和當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1化簡已知的等式，得到數(shù)列的遞推公式，利用累積法求出a_n．

解答 解：由題意得，S_n=n²a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-[（n-1）²a_n-1]，
化簡得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$，
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{5}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$
以上n-1個(gè)式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{1×2}{n（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又a₁=2，則a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推公式的化簡，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，以及累積法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．