Question

（12分）已知橢圓C1：+=1（0＜a＜，0＜b＜2）與橢圓C2：+=1有相同的焦點(diǎn)．直線L：y=k（x+1）與兩個(gè)橢圓的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為A、B、C、D．

（Ⅰ）求線段BC的長(zhǎng)（用k和a表示）；

（Ⅱ）是否存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．請(qǐng)說(shuō)明詳細(xì)的理由．

 

 

Answer 1

（Ⅰ）BC=．

（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）聯(lián)立，得（k2a2+b2）x2+2k2a2x2+k2a2﹣a2b2=0，由此能求出線段BC的長(zhǎng)．

（Ⅱ）由（I）知，AD=，線段AB、BC、CD構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，得2BC=AB+CD，故3BC=AD，由此能求出存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．

【解析】
（Ⅰ）聯(lián)立，

得（k2a2+b2）x2+2k2a2x2+k2a2﹣a2b2=0

所以BC==．

（Ⅱ）由（I）知，AD=，

線段AB、BC、CD構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，

可得2BC=AB+CD，故3BC=AD，

3=，

=≥0，

即：≥0．

由于a＞1，故．

所以，當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．