Question

19．設函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax．
（1）?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}$＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}$表示點（p，f（p） 與點（q，f（q）連線的斜率，因實數(shù)p，q在區(qū)間（$\frac{2}{3}$，1）內(nèi)，故?x∈（$\frac{2}{3}$，1），f′（x）=x²+x+2a＞0恒成立．分離參數(shù)，確定范圍，即可得出結論；
（2）不等式 $\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1 表示點（p+2，f（p+2）） 與點（q+2，f（q+2））連線的斜率，
因實數(shù)p，q在區(qū)間（$\frac{2}{3}$，1）內(nèi)，故p+2和q+2在區(qū)間（$\frac{2}{3}$+2，1+2）內(nèi)．不等式$\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1恒成立，所以函數(shù)圖象上在區(qū)間（$\frac{2}{3}$+2，1+2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導數(shù)大于1在（$\frac{2}{3}$+2，1+2）內(nèi)恒成立．

解答 解：由題意，f′（x）=x²+x+2a
（1）∵?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}$＞0恒成立，
∴?x∈（$\frac{2}{3}$，1），f′（x）=x²+x+2a＞0恒成立，
∴2a＞$-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∴2a≥-$\frac{4}{9}$-$\frac{2}{3}$，
∴a≥-$\frac{5}{9}$；
（2）∵?p≠q∈（$\frac{2}{3}$，1），$\frac{f（p+2）-f（q+2）}{p-q}$＞1恒成立，
∴?x∈（$\frac{2}{3}$+2，1+2），f′（x）=x²+x+2a＞1恒成立，
∴2a＞$-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$+1，
∴2a≥-$\frac{64}{9}$-$\frac{8}{3}$+1，
∴a≥-$\frac{79}{18}$．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的意義，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．