Question

5．已知x為三角形中的最小角，則函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$）+sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cosx+1的值域為[$\sqrt{3}$+1，3]．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)y為正弦型函數(shù)，根據(jù)x為三角形中的最小角得出0＜x≤$\frac{π}{3}$，從而求出函數(shù)y的值域．

解答 解：函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$）+sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cosx+1
=sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$+sinxcos$\frac{π}{3}$-cosxsin$\frac{π}{3}$+$\sqrt{3}$cosx+1
=2sinxcos$\frac{π}{3}$+$\sqrt{3}$cosx+1
=sinx+$\sqrt{3}$cosx+1
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∵x為三角形中的最小角，
∴0＜x≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1∈[$\sqrt{3}$+1，3]；
即函數(shù)y的值域為[$\sqrt{3}$+1，3]．
故答案為：[$\sqrt{3}$+1，3]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值問題，是基礎(chǔ)題目．