Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程；區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M，如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖③．圖③中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
（1）方程f（x）=0的解是

 

；
（2）下列說法中正確命題的序號是

 

．（填出所有正確命題的序號）
①f（

1

4

）=1；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）在定義域上單調遞增；④f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱；⑤f（x）＞

3

的解集是（

2

3

，1）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：借助于圖形觀察，方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，即可得到m；
先利用f（

1

4

）=-1，判斷出①錯；在有實數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關于原點對稱，知②錯；
從圖形上可得f（x）在定義域上單調遞增，③對；先找到f（

1

2

）=0，再利用圖形判斷④對；
當f（x）=

3

時，即N（

3

，0），直線AN：x+

3

y=

3

，代入圓方程求得M的坐標，即可得到m，再由f（x）的單調性，即可判斷⑤．

解答： 解：如圖，因為M在以（0，1-

1

2π

）為圓心，

1

2π

為半徑的圓上運動，
方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，
即有AM的弧長為

1

2

，即m=

1

2

，解得x=

1

2

；
對于①，當m=

1

4

時．M的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直線AM方程y=x+1，
所以點N的坐標為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，
即①錯；
對于②，因為實數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關于原點對稱，所以f（x）不存在奇偶性．故②錯；
對于③，當實數(shù)m越來越大時，
如圖直線AM與x軸的交點N（n，0）也越來越往右，
即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調遞增，即③對；
對于④，當實數(shù)m=

1

2

時，對應的點在點A的正下方，
此時點N（0，0），所以f（

1

2

）=0，
再由圖形可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱，即④對；
對于⑤，當f（x）=

3

時，即N（

3

，0），直線AN：x+

3

y=

3

，代入圓方程x²+（y-1+

1

2π

）²=

1

4π2

，
求得M（

3

4π

，1-

1

4π

），|AM|=

1

2π

，AM的弧長為1-

1

6

=

5

6

，由③可得解集是（

5

6

，1）．則⑤錯誤．
故答案為：

1

2

，③④．

點評：本題考查了在新定義的條件下解決函數(shù)問題，是一道很好的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．