Question

4．從旅游景點A到B有一條100km的水路，某輪船公司開設一個游輪觀光項目．已知游輪每小時使用燃料費用與速度的立方成正比例，其他費用為每小時3240元，游輪最大時速為50km/h，當游輪的速度為10km/h時，燃料費用為每小時60元，設游輪的航速為vkm/h，游輪從A到B一個單程航行的總費用為S元．
（1）將游輪從A到B一個單程航行的總費用S表示為游輪的航速v的函數S=f（v）；
（2）該游輪從A到B一個單程航行的總費用最少時，游輪的航速為多少，并求出最小總費用．

Answer 1

分析 （1）利用游輪每小時使用燃料費用與速度的立方成正比例，其他費用為每小時3240元，可將游輪從A到B一個單程航行的總費用S表示為游輪的航速v的函數S=f（v）；
（2）利用函數的單調性，即可求出函數的最小值．

解答 解：（1）設游輪以每小時vkm/h的速度航行，游輪單程航行的總費用為f（v）元，
∵游輪的燃料費用每小時k•v³元，依題意k•10³=60，則k=0.06，
∴S=f（v）=$0.06{v}^{3}×\frac{100}{v}$+3240×$\frac{100}{v}$=6v²+$\frac{324000}{v}$（0＜v≤50）；
（2）f′（v）=$\frac{12（{v}^{3}-27000）}{{v}^{2}}$，
f′（v）=0得，v=30，
當0＜v＜30時，f′（v）＜0，此時f（v）單調遞減；
當30＜v＜50時，f′（v）＞0，此時f（v）單調遞增；
故當v=30時，f（v）有極小值，也是最小值，f（30）=16200，
所以，輪船公司要獲得最大利潤，游輪的航速應為30km/h．

點評 本題是一道實際應用題，考查了正比例函數，建模思想，求函數的導數，利用導數求函數的最值，解決實際問題的能力．