Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）
（1）a=2，x∈[0，3]，求F（x）的值域
（2）a＞2，解關(guān)于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分當(dāng)x∈[0，1）時(shí)、x∈[1，3]時(shí)兩種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，綜合可得結(jié)論．
（2）由a＞2，不等式即 x²-1≥a|x-1|，再分①若x≥1、②若x＜1兩種情況，分別去掉絕對(duì)值，解一元二次不等式，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）a=2，x∈[0，3]，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2|x-1|，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，F(xiàn)（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4是增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閇-3，0）；
x∈[1，3]時(shí)，F(xiàn)（x）=x²+2x-3=（x-1）² 是增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]．
綜上，在[0，3]上，F(xiàn)（x）的值域?yàn)閇-3，4]．
（2）∵a＞2，關(guān)于x的不等式F（x）≥0，即 x²-1≥a|x-1|，
①若x≥1，不等式即 x²-ax+a-1≥0，即[x-（a-1）]（x-1）≥0．
由于a-1＞1，解得x≥a-1，或x≤1，
綜合可得x≥a-1．
②若x＜1，不等式即 x²-1≥a（1-x），即  x²+ax-a-1≥0，即[x+（a+1）]（x-1）≥0，
由于a+1＞3，解得x≤-a-1，或x≥1，
綜合可得x≤-a-1．
綜合①②可得，原不等式的解集為：{x|x≤-a-1，或 x≥a-1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．