Question

18．如圖1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，點E在線段AB上，過點E作交AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置（點A與P重合），使得∠PEB=60°．

（1）求證：EF⊥PB；
（2）試問：當點E在何處時，四棱錐P-EFCB的側面的面積最大？并求此時四棱錐P-EFCB的體積及直線PC與平面EFCB所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導出EF⊥AB，EF⊥BE，EF⊥PE，由此能證明EF⊥PB．　
（2）設BE=x，PE=y，則x+y=4，當且僅當x=y=2時，S_△PEB的面積最大，此時，BE=PE=2．EF⊥平面PBE，從而平面EFCB⊥平面PBE．作PO⊥BE于O，則PO為四棱錐P-EFCB的高，∠PCO就是PC與平面EFCB所成角．由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵EF∥BC且BC⊥AB，
∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE．又BE∩PE=E，
∴EF⊥平面PBE，又PB?平面PBE，
∴EF⊥PB．�。�4分）
解：（2）設BE=x，PE=y，則x+y=4．
∴${S_{△PEB}}=\frac{1}{2}BE•PE•sin∠PEB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}xy≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{x+y}{2}）^2}=\sqrt{3}$．
當且僅當x=y=2時，S_△PEB的面積最大，此時，BE=PE=2．
由（1）知EF⊥平面PBE，
∵EF?平面EFCB，∴平面EFCB⊥平面PBE．
在平面PBE中，作PO⊥BE于O，則PO⊥平面EFCB．
即PO為四棱錐P-EFCB的高．
又$PO=PE•sin{60^0}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}，{S_{EFCB}}=\frac{1}{2}×（2+4）×2=6$．
∴${V_{P-BCFE}}=\frac{1}{3}×6×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$（8分）
∵$OE=PE•cos{60^0}=2×\frac{1}{2}=1$，
∴BO=1，在Rt△OBC中，$OC=\sqrt{B{O^2}+B{C^2}}=\sqrt{1+{4^2}}=\sqrt{17}$．
∵PO⊥平面EFCB，∴∠PCO就是PC與平面EFCB所成角．
∴$tan∠PCO=\frac{PO}{OC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{51}}}{17}$，
故直線PC與平面EFCB所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{51}}}{17}$（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積及線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．