Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點（$\frac{2}{3}$π，0）對稱，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位得到一個偶函數(shù)的圖象，則實數(shù)m的最小值為$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用余弦函數(shù)的對稱性可得φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律及余弦函數(shù)的奇偶性解得m=$\frac{（k-{k}_{1}）π}{2}$-$\frac{5π}{12}$，結(jié)合m的范圍，即可得解最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點（$\frac{2}{3}$π，0）對稱，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）=cos（2x+kπ-$\frac{5π}{6}$），k∈Z，
∵將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位得到函數(shù)y=cos[2（x-m）+kπ-$\frac{5π}{6}$]=cos（2x-2m+kπ-$\frac{5π}{6}$），k∈Z為偶函數(shù)，
∴要使函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，即x=0為其對稱軸，只需-2m+kπ-$\frac{5π}{6}$=k₁π，（k∈Z，k₁∈Z），
∴解得：m=$\frac{（k-{k}_{1}）π}{2}$-$\frac{5π}{12}$，
∵m＞0
∴m的最小正值為$\frac{π}{12}$，此時k-k₁=1，k∈Z，k₁∈Z．
故答案為：$\frac{π}{12}$．

點評 本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．