【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點,且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.

【答案】解:()因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為,

所以, ……………1

又橢圓的離心率為,即,所以, ………………2

所以,. ………………4

所以,橢圓的方程為. ………………5

)方法一:不妨設(shè)的方程,則的方程為.

, ………………6

設(shè),,因為,所以, …………7

同理可得, ………………8

所以, ………………10

, ………………12

設(shè),則, ………………13

當且僅當時取等號,所以面積的最大值為. ………………14

方法二:不妨設(shè)直線的方程.

消去, ………………6

設(shè),,

則有,. ① ………………7

因為以為直徑的圓過點,所以.

,

. ………………8

代入上式,

.

代入上式,解得(舍). ………………10

所以(此時直線經(jīng)過定點,與橢圓有兩個交點),

所以

. ……………12

設(shè),

.

所以當時,取得最大值. ……………14

【解析】

(1)由題意可知2a+2ce的值,所以可以求出a,b,c進而確定橢圓方程.

2)以AB為直徑的圓過右頂點C,實質(zhì)是,然后用坐標表示出來,再通過直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達定理和判斷式把△ABC面積表示成關(guān)于k的函數(shù),然后利用函數(shù)的方法求最值.

)因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為,, 又橢圓的離心率為,即,所以

,. ………… 3,橢圓的方程為.……4

)由直線的方程.聯(lián)立消去,………… 5

設(shè),則有,. ① ……… 6

因為以為直徑的圓過點,所以.,得.…………… 7

代入上式,得.

代入上式,解得(舍). ……… 8

所以,記直線軸交點為,則點坐標為,

所以

設(shè),則.

所以當時,取得最大值為

練習冊系列答案
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(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪,求被采訪人恰好在第1組或第4組的概率;

(2)已知第5,6兩組市民中有3名女性,組織方要從第5,6兩組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊,求至少有1名女性市民的概率.

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4954 4454 8217 3793 2378 8735 2096 4384 2634 9164

5724 5506 8877 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0767 5086

選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第11列和第12列數(shù)字開始,由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個志愿者的座位號是( )

A.09B.20C.37D.38

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閱讀量為萬到萬人數(shù)

閱讀量為萬到萬人數(shù)

合計

成績優(yōu)秀的人數(shù)

成績不優(yōu)秀的人數(shù)

合計

(2)在抽出的同學中,1)求抽到被污染部分的同學人數(shù);2)從閱讀量在萬到萬字及萬到萬字的同學中選出人寫出閱讀的心得體會.求這人中恰有人來自閱讀量是萬到萬的概率.

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