Question

5．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足$\frac{2{a}^{2}-lna}$=$\frac{3c-2}u3n2kmp$=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 由題意可得b=-lna+2a²，d=3c-2．分別令y=f（x）=-lnx+2x²，y=g（x）=3x-2，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的點(diǎn)之間的距離的最小值．設(shè)與直線y=3x-2平行且與曲線f（x）相切的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），求出切點(diǎn)P到直線y=3x-2的距離d，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²．

解答 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足$\frac{2{a}^{2}-lna}$=$\frac{3c-2}oskn4sh$=1
可得b=-lna+2a²，d=3c-2，
分別令y=f（x）=-lnx+2x²，y=g（x）=3x-2，
轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的點(diǎn)之間的距離的最小值，
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+4x，設(shè)與直線y=3x-2平行且與曲線f（x）相切的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則-$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀=3，x₀＞0，解得x₀=1，可得切點(diǎn)P（1，2），
切點(diǎn)P（1，2）到直線y=3x-2的距離d=$\frac{|3-2-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=$\frac{1}{10}$．
故答案為：$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線、平行線之間的斜率關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．