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5.若實數(shù)a,b,c,d滿足\frac{2{a}^{2}-lna}=3c2auaoy2k=1,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為110

分析 由題意可得b=-lna+2a2,d=3c-2.分別令y=f(x)=-lnx+2x2,y=g(x)=3x-2,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f(x)與g(x)的點之間的距離的最小值.設與直線y=3x-2平行且與曲線f(x)相切的切點為P(x0,y0),求出切點P到直線y=3x-2的距離d,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為d2

解答 解:∵實數(shù)a,b,c,d滿足2a2lna=3c2emweyi0=1
可得b=-lna+2a2,d=3c-2,
分別令y=f(x)=-lnx+2x2,y=g(x)=3x-2,
轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f(x)與g(x)的點之間的距離的最小值,
f′(x)=-1x+4x,設與直線y=3x-2平行且與曲線f(x)相切的切點為P(x0,y0),
則-1x0+4x0=3,x0>0,解得x0=1,可得切點P(1,2),
切點P(1,2)到直線y=3x-2的距離d=|322|10=110
∴(a-c)2+(b-d)2的最小值為d2=110
故答案為:110

點評 本題考查了利用導數(shù)研究曲線的切線、平行線之間的斜率關系、點到直線的距離公式、函數(shù)的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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