Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且滿足：$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=n，n∈N₊．
（1）求a_n．
（2）設(shè)T_n=$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+2}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+3}}}}$+…+$\frac{1}{{{S_{2n}}}}$，是否存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N₊，不等式T_n≤m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=n與$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n-1}{{a}_{n-1}+1}$=n-1（n≥2）作差，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）（n≥2），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=n，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n-1}{{a}_{n-1}+1}$=n-1（n≥2），
兩式相減得：$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=1，即a_n=n-1，
又∵$\frac{1}{{{a_1}+1}}$=1，即a₁=0滿足上式，
∴a_n=n-1；
（2）結(jié)論：存在整數(shù)m=1，使對(duì)任意n∈N₊，不等式T_n≤m恒成立．
理由如下：
由（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）（n≥2），
∴T_n=$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+2}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+3}}}}$+…+$\frac{1}{{{S_{2n}}}}$
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$）
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{n}$，
要存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N₊，不等式T_n≤m恒成立，即（T_n）_max≤m，
由{$\frac{1}{n}$}單調(diào)遞減可知當(dāng)n=1時(shí)，T_n取最大值1，即m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．