Question

10．已知命題p：“方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓”，
命題q：“函數(shù)f（x）=lg（x²-mx+$\frac{9}{16}$）的定義域為R”．
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∧q是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p為真命題：則3-m＞m-1＞0，解得m范圍．若命題q為真命題：則△＜0，解得m取值范圍．再利用復(fù)合命題的真假判定方法即可得出．

解答 解：∵命題p：“方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓”，
∴3-m＞m-1＞0，解得1＜m＜2．
命題q：“函數(shù)f（x）=lg（x²-mx+$\frac{9}{16}$）的定義域為R”，∴△=m²-4×$\frac{9}{16}$＜0，解得$-\frac{3}{2}$$＜m＜\frac{3}{2}$．
（1）由命題p為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（1，2）；
（2）若p∧q是真命題，則p與q都為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{-\frac{3}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$1＜m＜\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$（1，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合命題的真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．