Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow$|=1，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|恒成立，則|$\overrightarrow{a}$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=m，m≥0，把所給的不等式平方可得m²+mx+x²≥m²-m+1，即為x²+mx+m-1≥0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=m，m≥0，
由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，得到|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²，所以${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+x²${\overrightarrow}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$，
得m²+mx+x²≥m²-m+1，
即x²+mx+m-1≥0，
又不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²，
∴△=m²-4（m-1）=（m-2）²≤0，
解得m=2，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．