Question

函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成立，當x∈（0，2），f（x）=-x²+1．
（Ⅰ）當x∈（2，6）時，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1在區(qū)間（2，6）上的解集．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）當x∈（2，6）時，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用分段函數(shù)的不等式即可求不等式f（x）＞-1在區(qū)間（2，6）上的解集．

解答： 解：（Ⅰ）當x=0時，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0．
當x∈（-2，0）時，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=x²-1                               
由f（x+4）=f（x），知y=f（x）又是周期為4的函數(shù)，
當x∈（2，4）時，x-4∈（-2，0），此時f（x）=f（x-4）=（x-4）²-1
當x∈（4，6）時，x-4∈（0，2），此時f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1，
又f（4）=f（0）=0，
即當x∈（2，6）時，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

(x-4)2-1， 2＜x＜4 0， x=4 -(x-4)2+1， 4＜x＜6

，
（Ⅱ）當x∈（2，4）時，由f（x）=（x-4）²-1＞-1，
得（x-4）²＞0恒成立，此時2＜x＜4，
當x=4時，f（4）=0＞-1成立，
當x∈（4，6）時，由f（x）=-（x-4）²+1＞-1，
得（x-4）²＜2，
解得4＜x＜4+

2

，
綜上得2＜x＜4+

2

，
∴f（x）＞-1的解集為{x|2＜x＜4+

2

}．

點評：本題主要考查了由函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的周期性求解函數(shù)的解析式，屬于函數(shù)知識的綜合應用．