Question

5．如圖，△ABC中，三個(gè)內(nèi)角B、A、C成等差數(shù)列，且AC=20，BC=30．
（1）求△ABC的面積；
（2）已知平面直角坐標(biāo)系xOy，點(diǎn)D（20，0），若函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$） 的圖象經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)，且A、D為f（x）的圖象與x軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2A=B+C，又A+B+C=180°，可得A=60°．由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccos60°，解出c，可得|AO|，|BO|，即可得出S_△ABC．
（2）T=60，可得$ω=\frac{π}{30}$．f（-10）=Msin$[\frac{π}{30}×（-10）+φ]$=0，可得φ．

解答 解：（1）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角B、A、C成等差數(shù)列，
∴2A=B+C，又A+B+C=180°，∴A=60°．
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccos60°，
∴c²-20c-500=0，解得c=10+10$\sqrt{6}$．
又∵|AO|=20cos60°=10，∴|BO|=10$\sqrt{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×（10+10\sqrt{6}）$×$10\sqrt{3}$=50$（3\sqrt{2}+\sqrt{3}）$．
（2）T=2×（20+10）=60，
∴$ω=\frac{π}{30}$．
∵f（-10）=Msin$[\frac{π}{30}×（-10）+φ]$=0，
∴sin$（-\frac{π}{3}+φ）$=0，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
∵f（0）=Msin$\frac{π}{3}$=10$\sqrt{3}$，解得M=20，
∴f（x）=20sin$（\frac{π}{30}x+\frac{π}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形、余弦定理、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．