Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（2a-2）x，x≤0}\\{{x}^{3}-（3a+3）{x}^{2}+ax，x＞0}\end{array}\right.$，若曲線y=f（x）在點(diǎn)P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，其中x₁，x₂，x₃互不相等）處的切線互相平行，則a的取值范圍是（-1，2）．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）分段研究，求出各段的導(dǎo)數(shù)，判斷出在x≤0時切線的斜率范圍，由此得到在x＞0時，斜率的取值范圍，由此得到a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（2a-2）x，x≤0}\\{{x}^{3}-（3a+3）{x}^{2}+ax，x＞0}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2a-2，x≤0}\\{3{x}^{2}-6（a+1）x+a，x＞0}\end{array}\right.$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，其中x₁，x₂，x₃互不相等）處的切線互相平行，
即y=f′（x）在點(diǎn)P_i（x_i，f（x_i））處的值相等．
∵當(dāng)x≤0時，f′（x）=-2x+2a-2≥2a-2，
∴當(dāng)x＞0時，f′（x）必須滿足，
$\left\{\begin{array}{l}{a＞2a-2}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，
∴-1＜a＜2，
故答案為（-1，2）

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題中運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想．