19.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c且函數(shù)f(x)在x=A時取得最大值a,求△ABC的面積S的最大值.

分析 (1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1,利用周期公式即可求得最小正周期.
(2)由三角形面積公式可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc,由f(A)=a,結(jié)合范圍,得到A=$\frac{π}{3}$,由余弦定理可得:4+bc=b2+c2,利用基本不等式可得bc≤4,即可得到三角形ABC的面積的最大值.

解答 解:(1)∵f(x)=sin2x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$,
∴f(x)=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1,
∴f(x)的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π.
(2)∵f(x)在x=A時取得最大值a,
∴a=2,A=$\frac{π}{3}$,
∴由余弦定理可得:cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$,
∴4+bc=b2+c2≥2bc,
∴bc≤4,b=c=2時取等號,
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$,
∴△ABC的面積最大值為$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題主要考察了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,周期公式,三角形面積公式,余弦定理,基本不等式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,考察了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想.

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