Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且函數(shù)f（x）在x=A時(shí)取得最大值a，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式即可求得最小正周期．
（2）由三角形面積公式可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，由f（A）=a，結(jié)合范圍，得到A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：4+bc=b²+c²，利用基本不等式可得bc≤4，即可得到三角形ABC的面積的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）在x=A時(shí)取得最大值a，
∴a=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴4+bc=b²+c²≥2bc，
∴bc≤4，b=c=2時(shí)取等號，
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考察了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，三角形面積公式，余弦定理，基本不等式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考察了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想．