Question

14．函數y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，求$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 根據對數函數的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．

解答 解：∵x=-2時，y=log_a1-1=-1，
∴函數y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$+2≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
當且僅當m=$\frac{1}{4}$，n=$\frac{1}{2}$時取等號，即$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為8．

點評 本題考查了對數函數的性質和均值不等式等知識點，運用了整體代換思想，是高考考查的重點內容．