Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=x+2$\sqrt{5}$與橢圓相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O作直線分別交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作OP⊥MN，交橢圓于P，求△PMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可設(shè)：a=2b，c=$\sqrt{3}$b，橢圓的方程可化為：x²+4y²=4b²．與直線方程聯(lián)立化為：5x²+16$\sqrt{5}$x+80-4b²=0，利用直線與橢圓相切的性質(zhì)可得：△=0，解出即可得出．
（2）①M(fèi)N為橢圓的短軸時(shí)，S_△PMN=$\frac{1}{2}•2b•a$．②MN為橢圓的長(zhǎng)軸時(shí)，S_△PMN=$\frac{1}{2}×2a×b$．③MN不為橢圓的長(zhǎng)軸、短軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx，OP的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x．分別與橢圓方程聯(lián)立可得：|MN|²=4（x²+y²），|OP|²，${S}_{△PMN}^{2}$=$\frac{1}{4}|MN{|}^{2}|OP{|}^{2}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可設(shè)：a=2b，c=$\sqrt{3}$b，∴橢圓的方程可化為：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即x²+4y²=4b²．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2\sqrt{5}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\end{array}\right.$，化為：5x²+16$\sqrt{5}$x+80-4b²=0，
∵直線與橢圓相切，∴△=$（16\sqrt{5}）^{2}$-20（80-4b²）=0，
解得b²=4．
∴$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）①M(fèi)N為橢圓的短軸時(shí)，S_△PMN=$\frac{1}{2}•2b•a$=4×2=8．
②MN為橢圓的長(zhǎng)軸時(shí)，S_△PMN=$\frac{1}{2}×2a×b$=4×2=8．
③MN不為橢圓的長(zhǎng)軸、短軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx，OP的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{16}{1+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|MN|²=4（x²+y²）=4×$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得|OP|²=$\frac{16+16{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，
∴${S}_{△PMN}^{2}$=$\frac{1}{4}|MN{|}^{2}|OP{|}^{2}$=$\frac{1}{4}$×4×$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$×$\frac{16+16{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$=$\frac{256（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≥$\frac{256（1+{k}^{2}）^{2}}{（\frac{1+4{k}^{2}+{k}^{2}+4}{2}）^{2}}$=$\frac{256×4}{25}$，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)．
∴S_△PMN=$\frac{32}{5}$．
∴△PMN面積的取值范圍為$[\frac{32}{5}，8]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．