Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)B（0，$\sqrt{3}$）是橢圓E的上頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知M為橢圓E上的動點(diǎn)，若以點(diǎn)M為圓心，MF₁為半徑的圓與橢圓E的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)，求△F₁MF₂面積的最大值；
（3）過點(diǎn)B作直線l₁，l₂，使l₁⊥l₂，設(shè)直線l₁，l₂分別交橢圓E于點(diǎn)P，Q，連接PQ，求證：直線PQ必經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由橢圓的第二定義可知：|MF₁|=$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2．點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離d=4-x₀．根據(jù)：以點(diǎn)M為圓心，MF₁為半徑的圓與橢圓E的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)，可得|MF₁|≥d，得到x₀的最小值，即可得到|y₀|的最大值，可得△F₁MF₂面積的最大值S=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}{|}_{max}$．
（3）設(shè)直線BP、BQ的直線方程分別為：y=kx+$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．分別與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可得出．

解答 解：（1）∵e=$\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得：c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）橢圓的左右準(zhǔn)線分別為：x=-4，x=4，F(xiàn)₁（-1，0），設(shè)M（x₀，y₀）．
由橢圓的第二定義可知：$\frac{|M{F}_{1}|}{{x}_{0}-（-4）}=\frac{1}{2}$，化為：$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2．
點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離d=4-x₀，
∵以點(diǎn)M為圓心，MF₁為半徑的圓與橢圓E的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)，
∴|MF₁|≥d，
∴$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2≥4-x₀，解得2≥${x}_{0}≥\frac{4}{3}$．
∴${y}_{0}^{2}$=3$（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$≤$3×[1-\frac{1}{4}×（\frac{4}{3}）^{2}]$=$\frac{5}{3}$，
取|y₀|的最大值$\sqrt{\frac{5}{3}}$．
∴△F₁MF₂面積的最大值S=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}{|}_{max}$=1×$\sqrt{\frac{5}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
（3）證明：設(shè)直線BP、BQ的直線方程分別為：y=kx+$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx=0，可得x_P=-$\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{-4\sqrt{3}{k}^{2}+3\sqrt{3}}{3+4{k}^{2}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得：x_Q=$\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}$，y_Q=$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-4\sqrt{3}}{3{k}^{2}+4}$．
∴直線PQ的方程為：y-$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-4\sqrt{3}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{3（{k}^{2}-1）}{7k}$$（x-\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}）$，
令x=0，可得y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}$．
∴直線PQ必經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)$（0，-\frac{\sqrt{3}}{7}）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．