11.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給以證明;
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

分析 (1)利用奇函數(shù)的定義求解即可:即f(-x)+f(x)=0.
(2)求函數(shù)的定義域,利用定法證明其單調(diào)性.
(3)對函數(shù)進行化簡,分離常數(shù)法,即可得到值域.

解答 解:(1)由題意:函數(shù)f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數(shù).
∴f(-x)+f(x)=0.
即:$\frac{1-{2}^{-x}}{a+{2}^{1-x}}+$$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$=0
化簡整理得:$\frac{{2}^{x}-1}{a•{2}^{x}+2}+\frac{1-{2}^{x}}{a+2•{2}^{x}}$=0
可得:a•2x+2=a+2•2x
解得:a=2.
所以實數(shù)a的值為2.
(2)由(1)得f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{2(1+{2}^{x})}$,其定義域為R.
函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)減函數(shù).證明如下:
設(shè)x1<x2,那么:f(x1)-f(x2)=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{2(1+{2}^{{x}_{1}})}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{2(1+{2}^{{x}_{2}})}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{(1+{2}^{{x}_{1}})(1+{2}^{{x}_{2}})}$,
∵x1<x2,
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}>0$,
故得f(x1)-f(x2)>0.
所以函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)減函數(shù).
(3)由(1)可得f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{2(1+{2}^{x})}$=$\frac{2-(1+{2}^{x})}{2(1+{2}^{x})}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$.
∵$\frac{1}{1+{2}^{x}}≠0$
∴f(x)$≠-\frac{1}{2}$,
所以函數(shù)f(x)的值域為(-∞,$-\frac{1}{2}$)∪($-\frac{1}{2}$,+∞).

點評 本題考查了奇函數(shù)的運用能力和單調(diào)性的定義的運用,分離常數(shù)法求解值域.屬于基礎(chǔ)題.

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