Question

2．如圖，已知△OCB中，A是BC邊的中點(diǎn)，D是OB邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，DC與OA相交于點(diǎn)E，DE：DC=2：5，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{DC}$；
（2）若$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形法則求出$\overrightarrow{OA}$，再利用向量加減運(yùn)算的三角形法則求出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{DC}$；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$，用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{OE}$即可得出λ的值．

解答 解：（1）∵A為BC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
∵D為OB的三等分點(diǎn)，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow$．
（2）∵DE：DC=2：5，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$．
∴λ=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形，根據(jù)三角形或平行四邊形法則得出，屬于中檔題．