Question

已知等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n（n∈N^*），函數(shù)f（x）=x³+x+2（x∈R），若滿足f（a₂-2）=5，f（a₂₀₁₄-4）=-1，則S₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令g（x）=f（x）-2，判斷g（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，f（a₂-2）=5，f（a₂₀₁₄-4）=-1，即為f（a₂-2）-2=3，f（a₂₀₁₄-4）-2=-3，即有g（a₂-2）=-g（a₂₀₁₄-4）=g（4-a₂₀₁₄），由單調性和等差數(shù)列的性質及求和公式，即可計算得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³+x+2即為f（x）-2=x³+x，
令g（x）=f（x）-2，由g（-x）=-x³-x=-g（x），
則g（x）為奇函數(shù)，
g′（x）=3x²+1＞0，則g（x）遞增．
f（a₂-2）=5，f（a₂₀₁₄-4）=-1，
即為f（a₂-2）-2=3，f（a₂₀₁₄-4）-2=-3，
即有g（a₂-2）=-g（a₂₀₁₄-4）=g（4-a₂₀₁₄），
即有a₂-2=4-a₂₀₁₄，
即a₂+a₂₀₁₄=6，
則有S2015=

1

2

（a₁+a₂₀₁₅）•2015=

1

2

（a₂+a₂₀₁₄）•2015
=

1

2

×6×2015=6045．
故答案為：6045．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用：求值，考查等差數(shù)列的性質和求和公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．