Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，對任意x∈R，若不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥1恒成立，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是$[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥1，可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrowx+|\overrightarrow{|}^{2}{x}^{2}$的最小值為1，令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=t$換元，求出f（x）=4x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrowx$+4=4x²+2tx+4=$4（x+\frac{t}{4}）^{2}+4-\frac{{t}^{2}}{4}$的最小值，由最小值大于等于1求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥1，可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrowx+|\overrightarrow{|}^{2}{x}^{2}$的最小值大于等于1，
即4x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrowx$+4的最小值大于等于1．
令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=t$，
則f（x）=4x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrowx$+4=4x²+2tx+4=$4（x+\frac{t}{4}）^{2}+4-\frac{{t}^{2}}{4}$，
∵f（x）的最小值大于等于1，
∴$4-\frac{{t}^{2}}{4}≥1$，即t²≤12，
∴$-2\sqrt{3}≤t≤2\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是[$-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}$]．
故答案為：$[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查數學轉化思想方法，訓練了利用配方法求函數的最值，是中檔題．