Question

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則

|AF|

|BF|

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后，求解直線的方程，利用焦半徑公式求解比值．

解答： 解：∵拋物線y²=2px（p＞0），
∴它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

，0），
∵直線l傾斜角為60°，
∴直線l的方程為：
y-0=

3

（x-

p

2

），
即

3

x-y-

3 p

2

=0．
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
聯(lián)立方程組

y2=2px y= 3 x- 3 p 2

，
消去y并整理，得
12x²-20px+3p²=0，
解得x₁=

3p

2

，x₂=

p

6

，
∴|AF|=x₁+

p

2

=2p，|BF|=x₂+

p

2

=

2p

3

，
∴|AF|：|BF|=3：1，
∴

|AF|

|BF|

的值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了拋物線的幾何性質(zhì)、方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．