Question

若曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公共切線，則a的取值范圍為（　�。�

• A、[

  e2

  8

  ，+∞)
• B、(0，

  e2

  8

  ]
• C、[

  e2

  4

  ，+∞）
• D、(0，

  e2

  4

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)求得a的范圍．

解答： 解：由y=ax²（a＞0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
∵曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公共切線，則
設(shè)公切線與曲線C₁切于點(diǎn)（x1，ax12），與曲線C₂切于點(diǎn)（x2，ex2），
則2ax1=ex2=

ex2-ax12

x2-x1

，將ex2=2ax1代入2ax1=

ex2-ax12

x2-x1

，可得2x₂=x₁+2，
∴a=

e x1 2 +1

2x1

，記f(x)=

e x 2 +1

2x

，
則f′(x)=

e x 2 +1(x-2)

4x2

，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x=2時(shí)，f(x)min=

e2

4

．
∴a的范圍是[

e2

4

，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了方程有根的條件，是中檔題．