Question

15．已知圓x²+y²=13a²與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支交于A，B，且直線AB過雙曲線的右焦點，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 根據(jù)圓與雙曲線相交的性質(zhì)根據(jù)條件建立方程關(guān)系得到13a²=c²+$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，從而得到e⁴-e²-12=0，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，∵圓x²+y²=13a²與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）
的右支交于A，B兩點，且直線AB過雙曲線的右焦點，
∴|OA|=$\sqrt{13}a$，|OF₂|=c，|AF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，∠AF₂O=90°，
∴13a²=c²+$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，∵b²=a²-c²，
∴12a${\;}^{{4}^{\;}}$=c⁴-a²c²，
∴e⁴-e²-12=0，
解得e²=4或e²=-3（舍），
∴e=2．
故答案為：2

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，根據(jù)圓和雙曲線的性質(zhì)建立方程是解決本題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．