Question

4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=3，AC=2，AA₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∠BAC=60°，則它的這個(gè)外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 畫出球的內(nèi)接直三棱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半徑，然后可求球的表面積．

解答 解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在同一球面上，
若AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
則BC=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
如圖，連接上下底面外心，O為PQ的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC，
則球的半徑為OA，
由題意，AP=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，OP=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴OA=$\sqrt{\frac{7}{3}+\frac{6}{9}}$=$\sqrt{3}$，
所以球的表面積為：4πR²=12π．
故答案為：12π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積和表面積，球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力理解失誤能力，是中檔題．