Question

3．已知函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=C，則稱常數(shù)C是函數(shù)f（x）在D上的“倍幾何平均數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=2^-x，x∈[1，3]，則f（x）在[1，3]上的“倍幾何平均數(shù)”是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得到對?x₁∈[1，3]，?唯一的x₂=4-x₁，且x₂∈[1，3]，使得x₁+x₂=4，從而得出$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}=\frac{1}{4}$，這樣便可得出f（x）在[1，3]上的“倍幾何平均數(shù)”．

解答 解：∵x∈[1，3]；
∴對?x₁∈[1，3]，?唯一的x₂=4-x₁，且x₂∈[1，3]，使，x₁+x₂=4；
∴$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}=\sqrt{{2}^{-{x}_{1}}•{2}^{-{x}_{2}}}$=$\sqrt{{2}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}}=\sqrt{{2}^{-4}}=\frac{1}{4}$；
∴f（x）在[1，3]上的“倍幾何平均數(shù)”是$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 考查對“倍幾何平均數(shù)”的理解，由x∈[1，3]可以得到對?x₁∈[1，3]，?唯一的x₂∈[1，3]，使得x₁+x₂=4，以及指數(shù)式的運(yùn)算法則．